Objective-C实现列主元高斯消去法
列主元高斯消去法是一种有效的数值方法，用于求解线性方程组。通过对矩阵进行行变换，将其转化为上三角矩阵，从而简化求解过程。以下是使用Objective-C实现该算法的完整代码和详细说明。
算法概述
列主元高斯消去法（Gaussian Elimination by Column）与传统的高斯消去法（Gaussian Elimination）不同之处在于，它通过对矩阵的列进行操作，而不是行。这种方法同样可以将矩阵转化为上三角矩阵，但具体实现方式有所不同，适用于不同的计算环境或特定需求。
实现步骤
- 初始化：创建矩阵并初始化元素。
- 选择主元列：确定哪一列将作为主元列，通常选择当前列中绝对值最大的元素作为主元。
- 消去该列中的其他元素：通过行变换，将该列中的所有其他元素置零。
- 递归或迭代：重复上述步骤，直到所有主元列的位置上的元素均不为零。
Objective-C实现代码
#import "Foundation/Foundation.h" @interface GaussianElimination : NSObject - (NSArray *)solveSystemWithMatrix:(NSArray *>*)matrix; - (NSArray *)solveSingleEquationWithMatrix:(NSArray *>*)matrix; @end @implementation GaussianElimination - (NSArray *)solveSystemWithMatrix:(NSArray *>*)matrix { NSInteger rows = matrix.count; NSInteger cols = matrix[0].count; // 创建克莱姆法则所需的余子式和代数余子式矩阵 NSMutableArray *>* matrixK = [[NSMutableArray alloc] init]; NSMutableArray *>* matrixA = [[NSMutableArray alloc] init]; for (NSInteger i = 0; i < rows; i++) { NSMutableArray * row = [[NSMutableArray alloc] init]; for (NSInteger j = 0; j < cols; j++) { row[j] = matrix[i][j]; } matrixA[i] = row; matrixK[i] = [[NSMutableArray alloc] init]; } // 计算代数余子式 for (NSInteger i = 0; i < rows; i++) { for (NSInteger j = 0; j < cols; j++) { NSInteger sign = 1; NSInteger minRow = i; NSInteger minCol = j; // 查找最小非零元素所在的行和列 for (NSInteger row = i; row < rows; row++) { if (matrixA[row][j] != 0) { minRow = row; break; } } for (NSInteger col = j; col < cols; col++) { if (matrixA[minRow][col] != 0) { minCol = col; break; } } // 计算代数余子式的符号 if (minRow != i) { sign = sign * (matrixA[i][minCol] / matrixA[minRow][minCol]); } // 计算代数余子式的值 for (NSInteger row = 0; row < rows; row++) { if (row == i) continue; double factor = matrixA[i][j] / matrixA[minRow][j]; for (NSInteger col = 0; col < cols; col++) { matrixK[i][col] = [matrixK[i][col] - factor * matrixA[row][col]]; } } // 更新代数余子式矩阵 matrixK[i][j] = sign; } } // 克莱姆法则求解 NSMutableArray * x = [[NSMutableArray alloc] init]; for (NSInteger i = 0; i < rows; i++) { if (matrixK[i][0] != 0) { double x_i = 0; for (NSInteger j = 0; j < cols; j++) { x_i += matrixA[i][j] * matrixK[i][j]; } x[i] = [[NSNumber alloc] init]; x[i] = x_i; } else { x[i] = [[NSNumber alloc] init]; x[i] = NSNotFound; // 表示无解 } } return x; } - (NSArray *)solveSingleEquationWithMatrix:(NSArray *>*)matrix { NSInteger rows = matrix.count; if (rows == 0) return nil; // 找到主元列 NSInteger pivotColumn = 0; for (NSInteger i = 0; i < rows; i++) { if (matrix[i][0] != 0) { pivotColumn = 0; break; } } // 如果没有主元列且矩阵不为零矩阵 if (pivotColumn == 0 && !isZeroMatrix(matrix)) { return nil; // 无解 } // 消去主元列以外的元素 for (NSInteger i = 0; i < rows; i++) { if (matrix[i][pivotColumn] == 0) continue; double factor = matrix[i][pivotColumn] / matrix[0][pivotColumn]; for (NSInteger j = 0; j < matrix[0].count; j++) { if (j != pivotColumn) { matrix[i][j] -= factor * matrix[i][pivotColumn]; } } } // 解方程组 NSMutableArray * x = [[NSMutableArray alloc] init]; for (NSInteger i = 0; i < rows; i++) { if (matrix[i][pivotColumn] != 0) { x[i] = [[NSNumber alloc] init]; x[i] = matrix[i][pivotColumn]; } else { x[i] = [[NSNumber alloc] init]; x[i] = 0; // 可能的解或无解 } } return x; } // 判断矩阵是否为零矩阵 BOOL isZeroMatrix(NSArray *>* matrix) { for (NSArray * row in matrix) { for (NSNumber* element in row) { if (element != 0) return NO; } } return YES; } @end>